Chartres.

Is God a geometer?

Segundo.

El tiempo medio (MGT) depende de la Tierra y su movimiento; tal movimiento aunque estable, no es rigurosamente uniforme. Así, el segundo medio necesita de la existencia terrestre y no es un lapso de tiempo constante. Nuestra sociedad a alcanzado un nivel (navegación, transporte ferroviario, aviación, telecomunicaciones, satélites, GPS, etc.) que requiere de una tecnología la cual precisa de un cómputo de tiempo referido a lapsos rigurosamente constantes e independientes de la existencia terrestre.

Definamos entonces el intervalo de tiempo de forma que elimine los problemas aludidos: Sea la fracción de tiempo correspondiente a 1/31556925,9747 del año trópico en 1900. Tal fracción es llamada segundo de efemérides.

Podemos construir un aparato que cuente segundos con un error de un segundo cada 30.000 años. Llamamos a ese aparato reloj atómico y con él definimos un nuevo intervalo de tiempo: Sea el intervalo de tiempo correspondiente a la duración de 9192631770 periodos de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio-133 en campo magnético cero. A tal intervalo lo llamaremos segundo atómico. El número ciclos se ha escogido de tal manera que el segundo atómico es lo más similar posible al de efemérides.
Cada satélite GPS lleva cuatro relojes atómicos.

Unos 150 relojes atómicos situados en observatorios de 30 países y coordinados por el Bureau International de l’Heure en París son los encargados de dotarnos del llamado tiempo atómico internacional TAI, basado en el segundo atómico.

El segundo atómico no es igual que el segundo medio, eso implica que con el transcurrir de los años la diferencia entre el MGT y el TAI va aumentando; cuando esta diferencia supera 0.7 segundos entonces al TAI se le añade o se le resta, según convenga (hasta ahora siempre se ha añadido), un segundo de diferencia el último minuto del último día de diciembre o junio. El TAI así modificado es el denominado Tiempo Universal Coordinado, UTC (en términos militares Hora Zulú).

Los relojes atómicos integrados en el grupo del TAI que se encuentran en España (Cádiz) están al cuidado del Real Instituto y Observatorio de la Armada en San Fernando, se encarga del mantenimiento de la unidad básica de tiempo, declarado a efectos legales como patrón nacional de dicha unidad, así como de la difusión oficial de la escala Tiempo Universal Coordinado, UTC, considerada la base de la hora legal en todo el territorio nacional (Real Decreto 1308/1992 de 23 octubre).

¿Qué es el tiempo?

Día.

El tiempo que tarda el punto Aries en pasar dos veces consecutivas sobre el meridiano de un mismo lugar es llamado día sidéreo. Así, cuando el punto Aries rota 360º sexagesimales, ha transcurrido un día sidéreo, o sea 24 horas sidéreas. Por tanto, cada hora sidérea corresponde a 15º, y cuando el punto Aries esté sobre el meridiano de lugar serán las 0h 0m 0s de tiempo sidéreo en ese lugar.
Consideremos un día en que en un momento concreto el punto Aries y el Sol estén ambos simultáneamente sobre el meridiano de un lugar; serían entonces las 0h sidéreas del lugar y las 0h verdaderas (tal día es el 21 de marzo, corresponde al equinoccio de primavera). Sin embargo, medio año (sidéreo, trópico o anomalístico) más tarde a las 0h sidéreas del lugar sería de noche en tal lugar. Igualmente, un cuarto de año más tarde, a las 0h sidéreas del lugar el Sol estaría en el horizonte de tal lugar. O sea que a lo largo del año el Sol se iría desfasando y las palabras “día” y “noche” no guardarían relación ninguna con la hora de nuestro reloj.
La hora sidérea no sirve en la vida práctica.

El tiempo que tarda el Sol en pasar dos veces consecutivas sobre el meridiano de un mismo lugar es llamado día verdadero. Así, cuando el Sol rota 360º sexagesimales, ha transcurrido un día verdadero, o sea 24 horas verdaderas. Por tanto, cada hora verdadera corresponde a 15º, y cuando el Sol esté sobre el meridiano de lugar serán las 0h 0m 0s de tiempo verdadero en ese lugar.
Pero el Sol no rota entorno al eje del mundo con velocidad constante todos los días del año; esto no es posible a causa de dos motivos. El primer motivo es que el Sol en el Perigeo va más deprisa que en el Apogeo (el punto Apogeo se trata del punto sobre la eclíptica tal que en él la distancia del Sol a la Tierra es máxima) a causa de la segunda ley de Kepler. O sea que la velocidad con la que recorre el Sol la eclíptica no es constante. Y aunque el Sol recorriese la eclíptica con velocidad constante, resulta que lo haría en el plano de la misma que forma un ángulo no nulo con el plano del ecuador celeste. O sea que el segundo motivo que impide la rotación uniforme del Sol es la oblicuidad de la eclíptica. Esto hace que la duración de los días verdaderos no sea constante habiendo entre ellos una diferencia que alcanza un máximo de 16m 24s. Tal desviación de tiempo entre los días pudiera ser aceptable en épocas pasadas pero no en la actual nuestra.
La hora verdadera no sirve en la vida práctica actual.

Definamos entonces un sol, llamado sol ficticio, el cual se trate de un sol que se mueva por la eclíptica con velocidad constante, y obligado a coincidir con el Sol verdadero en el Perigeo y el Apogeo. Definamos seguidamente otro sol, llamado Sol medio. Este nuevo astro se moverá sobre el ecuador celeste con velocidad constante y obligado a coincidir con el sol ficticio en el punto Aries y el punto Libra (punto diametralmente opuesto a Aries).
El tiempo que tarda el Sol medio en pasar dos veces consecutivas sobre el meridiano de un mismo lugar es llamado día medio. Así, cuando el Sol medio rota 360º sexagesimales, ha transcurrido un día medio, o sea 24 horas medias. Por tanto, cada hora media corresponde a 15º, y cuando el Sol medio esté sobre el meridiano de lugar serán las 0h 0m 0s de tiempo medio en ese lugar.
La diferencia que en un cierto lugar hay entre su hora media y su hora verdadera a lo largo de los días del año es llamada ecuación de tiempo.
Para evitar la dificultad del cambio de fecha siendo de día, se crea la hora civil. La hora civil es de igual duración que la hora media pero empezando en el momento de paso del Sol medio por el antimeridiano; o sea: Hora civil=Hora media±12 horas.
La hora civil es local, depende de cada lugar de la Tierra. La hora civil en Greenwich es el llamado tiempo universal o GMT.

¿Qué es el tiempo?

Año.

Los astros observados desde un cierto lugar de la Tierra se suponen situados en una gran esfera y en ella observamos al Sol, los planetas, las estrellas y demás astros. El centro de la Tierra es el centro de tal esfera llamada esfera celeste. El movimiento aparente de todas las estrellas es circular, uniforme y de igual sentido, y podemos admitir que la esfera celeste gira, aparentemente, alrededor de la recta denominada eje del mundo. El eje del mundo pasa por el centro de la Tierra y corta a la esfera celeste en los puntos polos celestes. Los polos son llamados boreal y austral , correspondiendo su denominación con la de los polos de la Tierra. Todo plano por el eje del mundo corta a la esfera celeste en un círculo máximo denominado meridiano celeste. El plano perpendicular al eje del mundo por el centro de la esfera celeste corta a ésta en el círculo máximo denominado ecuador celeste.

El movimiento de la Tierra alrededor del Sol da lugar a un movimiento aparente del mismo considerando la Tierra fija. El plano en el que se realiza tal movimiento es llamado plano de la eclíptica, siendo ésta el círculo máximo que recorre el Sol sobre la esfera celeste. La amplitud del ángulo formado por la eclíptica y el ecuador celeste es la llamada oblicuidad de la eclíptica y tiene un valor aproximado de 23º27' (grados sexagesimales).

La posición que ocupa el centro del Sol cuando atraviesa el ecuador celeste, pasando del hemisferio austral al boreal, es llamado punto Aries. Tal punto no ocupa en la esfera celeste una posición fija. Igualmente el punto Perigeo no es fijo, se trata del punto sobre la eclíptica tal que en él la distancia del Sol a la Tierra es mínima.

El tiempo que tarda el Sol en recorrer sobre la esfera celeste el círculo máximo de la eclíptica al completo es llamado año sidéreo. El tiempo que tarda el Sol entre dos pasos por el punto Aries es llamado año trópico. El año trópico es menor que el sidéreo; tal cosa ocurre ya que el punto Aries tiene un movimiento retrógrado, cada año sidéreo, de 50.23'' sobre la eclíptica. El tiempo que tarda el Sol entre dos pasos por el Perigeo es llamado año anomalístico. El año anomalístico es mayor que el sidéreo; tal cosa ocurre ya que el punto Perigeo tiene un movimiento directo, cada año sidéreo, de 11.7'' sobre la eclíptica.

¿Qué es el tiempo?

!!!

Sea un vector u, no nulo, ortogonal a un plano σ y sea otro vector v, no nulo, también ortogonal al mismo plano σ. Entonces: es falso que el producto escalar u·v sea nulo.

Sí, cierto, si digo lo anterior es por algo.

Subnormal.

Sea P un punto de una parábola, salvo su vértice. Sea n la recta normal a la parábola por P. Sea N la intersección de n con el eje focal. Sea Q la proyección ortogonal de P sobre tal eje. El segmento QN es el llamado subnormal.

El subnormal tiene longitud constante e igual a la distancia del foco a la directriz, parámetro de la parábola.

Circunferencia principal.

Aquellos que comprendan qué es la circunferencia focal podrán observar el proceso de construcción de tangentes en los gráficos presentados. Sin embargo, más fácil es la construcción de las mismas usando la llamada circunferencia principal.

Circunferencia principal: Lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de un foco sobre las tangentes a una elipse o hipérbola; se trata de la circunferencia de radio a=semieje focal, y de centro el centro de la cónica. En el caso parabólico degenera en la recta tangente por el vértice.

¿Hay alguien?

En clase digo más una decena de veces que: para todo paraboloide hiperbólico se tiene el par de planos principales y el par de planos directores. Digo que no son lo mismo, y que verifican condiciones geométricas totalmente diferentes. Hago varios ejemplos, tanto sintéticos como analíticos... Y, ¿sirve de algo? No, pues a la postre casi todos los alumnos ¡consideran que son lo mismo!

Amargura.

Cuando la tarde languidece renacen las sombras, y en la quietud de los cafetales vuelven a sentir esa triste canción de amor de la vieja molienda; en el letargo de la noche parece gemir. Una pena de amor, una tristeza, lleva el zambo Manuel en su amargura, pasa incansable la noche moliendo café.

En toda superficie desarrollable tangencial (como, por ejemplo, el helicoide desarrollable) se tiene que las generatrices están siempre en la dirección de la curvatura principal nula; por tanto, son líneas de curvatura.

Qué bonitos ojos tienes debajo de esas dos cejas, debajo de esas dos cejas, qué bonitos ojos tienes. Ellos me quieren mirar... pero si tu no los dejas, pero si tu no los dejas, ni siquiera parpadear... Malagueña salerosa, besar tus labios quisiera, besar tus labios quisiera, Malagueña salerosa. Y decirte niña hermosa que eres linda y hechicera, que eres linda y hechicera como el candor de una rosa. Si por pobre me desprecias yo te concedo razón... yo te concedo razón... si por pobre me desprecias. Yo no te ofrezco riquezas te ofrezco mi corazón... te ofrezco mi corazón... a cambio de mi pobreza. Malagueña salerosa, besar tus labios quisiera, besar tus labios quisiera Malagueña salerosa. Y decirte niña hermosa que eres linda y hechicera, que eres linda y hechicera como el candor de una rosa.

Ţiţeica.

Ciertas propiedades de índole geométrico, mecánico, estético, etc, pueden indicar el uso de superficies, para hacer techumbres; donde la curvatura puede ser fácilmente determinada por relaciones conocidas de ante mano, o propuestas como propiedades rígidas de la superficie. Un tipo de tales superficies son las llamadas superficies de Ţiţeica.
Una superficie S de Ţiţeica está determinada por la siguiente propiedad: fijado un punto del espacio O, se tiene que para todo punto p de S la curvatura de S es proporcional a la cuarta potencia de ; o sea, d es la distancia a O del plano tangente de S en p. Dicho de otra forma:

.

Piensan.

¿Piensan que no sirven para nada las cónicas en Arquitectura?
¿Piensan que no sirven para nada las cuádricas en Arquitectura?
¿Piensan que no sirven para nada las afinidades en Arquitectura?
¿Piensan que no sirven para nada los desplazamientos en Arquitectura?
¿Piensan que no sirven para nada las semejanzas en Arquitectura?
¿Piensan que no sirven para nada las curvas en Arquitectura?
¿Piensan que no sirven para nada las superficies en Arquitectura?
¿Piensan que no sirven para nada los elementos geométricos en Arquitectura?

Dado que estoy sólo ..., ¿será que la respuesta a todas las preguntas es: "Sí, eso piensan."?

-

Solicito unos trabajos el primer día del curso, los entregan el último. Los trabajos entregados son todos iguales entre sí. La diferencia está en la presentación de los mismos. Unas presentaciones son malas, otras dan asco.

Esfera geodésica.

Icosaedro. Se trunca. 60 vértices, 32 caras, 90 aristas. 12 pentágonos equiláteros, 20 hexágonos equiláteros. Se divide cada hexágono en 6 triángulos equiláteros por su centro; en 5 no equiláteros cada pentágono.

a) Cada uno de estos triángulos equiláteros de nuevo se divide en 4 triángulos equiláteros, 24 en total para los hexágonos; y 20 no equiláteros para los pentágonos. Se proyectan sobre la esfera circunscrita desde su centro.

b) Cada uno de estos triángulos de nuevo se divide por el centro en 6 triángulos rectángulos, 36 en total para los hexágonos y 30 para los pentágonos. Se proyectan sobre la esfera circunscrita desde su centro.

Icosaedro truncado geodésico.

אמן

El exceso de un triángulo geodésico es igual a área de su imagen esférica.

Desesperación.

19 años de edad. Estudiantes de Arquitectura. 50 personas en el aula.

Yo ando explicando cómo se calcula la curvatura de Gauss de una superficie. Pero, me da por preguntar: ¿qué es un ángulo recto?

Y, ¡nadie sabe lo que es un ángulo recto! Nadie.

Supongamos que tengo un ángulo que es congruente con su suplementario. ¿Será un Recto? Supongamos que es una nube; o no, mejor que sea un pájaro, no no, que sea Supermán. Supongamos que llevo 3 meses explicando Geometría: cónicas, cuádricas, afinidades, automorfismos ortogonales, desplazamientos, semejanzas, curvas, superficies, curvaturas, geodésicas... ¡ Y nadie sabe lo que es un Recto!... Aahhjj.

Me gusta ver el cielo
con negros nubarrones
y oír los aquilones
horrísonos bramar,
me gusta ver la noche
sin luna y sin estrellas,
y sólo las centellas
la tierra iluminar.

Me agrada un cementerio
de muertos bien relleno,
manando sangre y cieno
que impida el respirar,
y allí un sepulturero
de tétrica mirada
con mano despiadada
los cráneos machacar.

Me alegra ver la bomba
caer mansa del cielo,
e inmóvil en el suelo,
sin mecha al parecer,
y luego embravecida
que estalla y que se agita
y rayos mil vomita
y muertos por doquier.

Que el trueno me despierte
con su ronco estampido,
y al mundo adormecido
le haga estremecer,
que rayos cada instante
caigan sobre él sin cuento,
que se hunda el firmamento
me agrada mucho ver.

La llama de un incendio
que corra devorando
y muertos apilando
quisiera yo encender;
tostarse allí un anciano,
volverse todo tea,
y oír como chirrea
¡qué gusto!, ¡qué placer!

Volverse todo tea, y oír como chirrea ¡qué gusto!, ¡qué placer!
Volverse todo tea, y oír como chirrea ¡qué gusto!, ¡qué placer!
Volverse todo tea, y oír como chirrea ¡qué gusto!, ¡qué placer!
Oír como chirrea ¡qué gusto!, ¡qué placer!
Oír como chirrea.

Perdón por el desvarío.

Nadie.

Llego al aula. Tres horas de clase en las cuales los alumnos pueden trabajar y preguntarme cualquier cosa. Son 106 los matriculados; pero, ¿cuántos alumnos hay en el aula?

Nadie.

Moiras.

!Cloto, mi diosa¡ Presidiste mi nacimiento, hilas el destino que tú y tus hermanas me tuvisteis a bien asignar.
!Láquesis, mi diosa¡ Enrollas mi hilo en el carrete, dirigiendo el curso de mi vida.
¡Átropos, mi diosa! Gracias por cortar los hilos sin respetar edad, sin respetar riqueza, sin respetar poder, sin respetar ninguna prerrogativa. Gracias por usar tus tijeras de oro llevando a todos al inevitable fin.

Veláis porque se cumpla nuestro destino.

Trazado ferroviario: recta-clotoide-circunferencia-clotoide-recta.

Torno.

Ley de la palanca en el Torno: Máquina constituida por un cilindro de radio r, que gira sobre su eje por la fuerza f que se le aplica a través de una manivela de radio R; que hace enrollar una cuerda en el cilindro, arrastrando una resistencia F sostenida en el otro extremo. La relación de fuerzas en equilibrio es f·R = F·r.

8 minutos de arco.

Kepler: Si pudiera ignorar esos 8 minutos de arco, adaptaría mi hipótesis. Pero como no puedo ignorarlos, esos 8 minutos conducen a una reforma total de la astronomía.

Giro.

Un giro g, en el espacio afín euclídeo tridimensional A, puede ser caracterizado de varias formas.

Una de tales formas de caracterizarlo consiste en el par , donde r es la recta eje de giro y α es el ángulo de giro. Nótese que el par (u,v) está formado por dos vectores de módulo 1 ortogonales a r y que representan al ángulo α; o sea, (u,v) representan a los infinitos pares de vectores de módulo 1 relacionados entre sí, y con el par (u,v), mediante un automorfismo ortogonal directo ψ sobre el subespacio vectorial F de dimensión 2 ortogonal a la dirección de r.
Otra de las posibles formas de caracterizar g, fijada previamente una base inicial ortonormal del espacio vectorial E asociado a A, consiste en el par (w,ξ). Tal par está formado por un vector w no nulo y un escalar ξ de [0,π]. A bien entendido que el vector w se trata de un vector director de la recta eje de giro r, que el escalar ξ es la amplitud del ángulo de giro α; y que para determinar α se tiene que , de tal forma que u y v=ψ(u) son dos vectores de módulo 1 ortogonales a w tal que ; o sea, la terna de vectores u, v, w, forman base directa. Recordemos que llamamos amplitud del ángulo α al escalar ξ tal que ψ tiene asociada la matriz sobre cualquier base ortonormal fijada de F con a=cos(ξ). La matriz asociada a la aplicación lineal inducida por el giro g, en cualquier base ortonormal directa , es .

Soledad.

Una habitación, 60 personas y yo; dos horas de explicación.

Yo: Dame un ángulo.
A: 35.

Una habitación, 60 personas y yo; dos horas de explicación. ¡Y... me siento tan solo!

No sé.

Yo: ¿Qué dice la desigualdad triangular?

A1: No sé.
A2: No sé.
...
A60: No sé.

Polvo enamorado.

Cerrar podrá mis ojos la postrera
sombra, que me llevare el blanco día; [...]

"La matriz asociada a una aplicación lineal, respecto de una base de salida y una de llegada, tiene por columnas las componentes de las imágenes de los vectores de la base de salida expresadas en la base de llegada."

[...] serán ceniza, mas tendrá sentido;
polvo serán, mas polvo enamorado.

Gracias.

Yo: Dado que la excentricidad de la cónica es log 3 necesariamente se trata de una hipérbola (entenderemos siempre que: log = logarit- mo natural).

Me asaltó un escalofrío, y pregunté:

Yo: ¿Por qué log 3 es mayor que 1?

Silencio, desconcierto, desprecio; se enrareció el ambiente.

John Napier, Henry Briggs, Grégorie de Saint-Vincent, Cristian Huygens, Nicolás Mercator, Jacob Bernoulli, James Gregory, Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli, Leonhard Euler y otros no tan conocidos... ¡gracias!

Autoengaños.

A: El vector (1,0) tiene módulo 1.

Yo: Dado que nuestro espacio vectorial es el de las flechas libres en el plano, entiendo que al decir "vector (1,0)" te refieres al vector de componentes (1,0), ¿verdad?
A: Pues... ¡será que sí me refiero a eso!
Yo: Será que consumida por los años sienta placer la vida fatigada, en dejar de este mundo los engaños, [...].

--
Sea en el plano un vector cualquiera no nulo.
Sea además, en ese plano, otro vector no nulo que no tenga la dirección del anterior.
Sea la base formada por esos dos vectores.
--

Yo: ¿De verdad sigues pensando que el vector de componentes (1,0) tiene módulo uno?

Sombras eternas.

En lóbrego abismo que sombras eternas
envuelven en densa tiniebla y horror,
do reina un silencio que nunca se altera,
y ahuyenta el olvido del mundo el rumor [...]

¿Por qué me siento tan triste?

Ego sum Papa.

Acudí a la siguiente escenificación para ilustrar uno de los mayores errores:

¡El Papa soy yo!

Voy a demostrar la anterior aseveración. Empiezo considerando la siguiente igualdad

x=y.

Multiplico ambos miembros de la igualdad por x,

x²=xy.

Resto y² a ambos miembros de la igualdad,

x²-y²=xy-y².

Suma por diferencia es la diferencia de cuadrados, y saco factor común,

(x+y)(x-y)=y(x-y).

Simplifico los factores iguales de ambos lados de la igualdad,

(x+y)=y.

Pero, x=y, así que

2y=y.

Luego

2=1.

Además, el Papa y yo somos dos; pero, yo soy uno. Por tanto como dos es igual a uno: el Papa soy yo.

¿Qué es π?

Yo: ¿Qué es π?

A1: π es un número.
Yo: Pero si esa, a secas, fuera la definición, tendríamos que: como π “es un número” y como 19 “es un número” entonces ¡π es 19!

A2: π es 3.14.
Yo: ¿Es 3.14 o 3.1416?
A2: Bueno, también es eso.
Yo: ¿También? Pero… ¿Es 3.1416 o 3.1415972?
A2: Pues ese también será, digo yo…
Yo: Entonces, ¡π son tres cosas diferentes a la vez!

A3: π es infinito.
Yo: ¡¿Y cómo es infinito si también es más pequeño que 4?!

A4: ¡Es que π no se puede escribir!

Me fui a la pizarra y con la tiza puse: “π”.

A5: π es una tecla de la calculadora.
Yo: Y… (Perplejo y maravillado yo, pues no sabía si era una broma o no.) Cuando no había calculadoras ¿π no existía, no se usaba, no era útil,…?

Siguió la charla con similar éxito, hasta que finalmente contesté yo mismo a la pregunta inicial.

Yo: Consideramos una circunferencia cualquiera. Sea a, el número por el que hay que multiplicar la longitud de su diámetro para obtener la longitud de la misma. Consideramos otra circunferencia cualquiera diferente a la anterior. Sea b, el número por el que hay que multiplicar la longitud de su diámetro para obtener la longitud de esta nueva circunferencia. Resulta que ¡los dos números a y b son iguales!, ¡son el mismo número! Bien; entonces a este número, que es independiente de la circunferencia considerada, que se define como “el número por el que hay que multiplicar la longitud del diámetro de cualquier circunferencia para obtener su longitud”, se le llama π.

Parecía que todo había acabado cuando, sin dejar que se alargase la pausa, pregunté:

Yo: ¿Por qué a y b son iguales? O sea: ¿por qué existe π?
Yo: Y… ¡¿Qué tiene que ver Thales con esto?!

Hubo silencio.