.VALE.

—Señores —dijo don Quijote—, vámonos poco a poco, pues ya en los nidos de antaño no hay pájaros hogaño. Yo fui loco y ya soy cuerdo; fui don Quijote de la Mancha y soy agora, como he dicho, Alonso Quijano el Bueno.


Cual suele la luna tras lóbrega nube
con franjas de plata bordarla en redor,
y luego si el viento la agita, la sube
disuelta a los aires en blanco vapor:

Así vaga sombra de luz y de nieblas,
mística y aérea dudosa visión,
ya brilla, o la esconden las densas tinieblas
cual dulce esperanza, cual vana ilusión.

.VALE.

Fractal 2. Dimensión de Hausdorff.

En general, un fractal no tiene por qué tener estructura homotética, y así, no posee dimensión de homotecia; además ni siquiera tiene porqué ser algo con autosemenjanza. Se tiene entonces el problema de dar una definición matemática formal de fractal que además recoja su nivel de escabrosidad y eficacia de ocupar espacio. El mejor intento de resolución de este problema consiste en la llamada: dimensión de Hausdorff.

La dimensión de Hausdorff es una generalización del concepto de dimensión. Consideremos un ente geométrico E (variedad topológica inmersa en el 3-espacio afín euclídeo). Tomemos una unión de bolas, de diámetro menor que un número fidado d>0, tal que E esté incluido en esa unión. Esa unión es conocida como d-recubrimiento de E, y el número de bolas del d-recubrimiento puede ser infinito numerable. Fijemos ahora otro número s>0. Sea ahora la serie numérica consistente en la suma de los diámetros, elevados a s, de la bolas del d-recubrimento. Tenemos entonces, si la suma de esta serie numérica es convergente, un número dado por d, s y el d-recubrimiento, o el infinito en caso contrario; llamaremos a esta suma S(d,s,d-recubrimiento). Consideremos, seguidamente, el conjunto B, de los infinitos números S(d,s,d-recubrimiento), fijando d y s, pero variando los posibles d-recubrimientos. Sea entonces el ínfimo del conjunto B; y llamamos a este ínfimo: H_d^s. Pasemos entonces al límite de H_d^s cuando d tiende a cero. Tal límite, que puede ser ininito, es la llamada s-medida de Hausdorff de E y la notamos como H^s(E).

La medida de Hausdorff, que está siempre definida y se encuentra entre o e infinito, consiste en la longitud de E cuando s es 1, en el área de E si s es 2, en el volumen de E si es 3, etc; ahora bien, está definida para todos los valores de s>0. Así, podemos ver qué ocurre con la s-medida de Hausdorff de E según va variando el parámetro s; y obtenemos que: existe un valor D tal que H^s(E) es infinita si D>s, y H^s(E) es 0 si s>D . A este número D se le conoce como dimensión de Hausdorff de E, D_H(E).

Cuando D_H(E) es un número no entero decimos que E es un fractal.

En la práctica la dimensión de Hausdorff no es fácil de calcular y por ello se suele substituir su cálculo por otro que se le aproxima. Tal aproximación es la llamada dimensión fractal.

Consideremos de nuevo el ente geométrico E. Fijado un número d>0 consideremos el número menor de bolas de radio d, tal que E esté incluido en la unión de esas bolas; llamemos N(E,d) a tal número. Sea D_d(E) el cociente de logaritmos log(N(E,d))/log(1/d). Y pasemos al límite D_d(E) cuando d tiende a cero. Llamamos D(E) tal límite, y es conocido como dimensión fractal. Se tiene que D(E) es una aproximación de D_H(E) y que D(E) es mayor o igual que D_H(E).

En la práctica realmente se calcula la dimensión fractal por un método equivalente de cálculo. Se toma N_n el número de cajas que intersecan al conjunto E de un mallado cuadricular de anchura 1/2ⁿ y se pasa al límite cuando n tiende a infinito el cociente de logaritmos log(N_n)/log(2ⁿ).

Así por ejemplo, si E es la línea de Koch, se tiene que D(E)=1.26>D_H(E)=1.18.

Esta dimensión fractal, es aplicable a entes geométricos no necesariamente fractales; es una medida de la eficacia de ocupar espacio. Así, tiene utilidad práctica, entre otras muchas cosas, en cuestiones de urbanismo. O por ejemplo, si calculamos la dimensión fractal de líneas que marcan la frontera entre países, o líneas que marcan una costa marítima, nos da una medida de la escabrosidad de las mismas.

Fractal 1. Dimensión de homotecia.

Consideremos una entidad geométrica T (variedad topológica inmersa en el 3-espacio afín euclídeo) constituida de la siguiente forma: T está compuesta por la unión de n partes; esas n partes son la imagen por un desplazamiento de una sub-entidad geométrica S; T es homotética a S (T=h_r(S), con h_r homotecia de razón de r).

Llamaremos entonces dimensión de homotecia de T a la cantidad: log_r(n) (donde log_r(n) es el logaritmo en base r de n). O dicho al revés: la dimensión de homotecia de T es el número d tal que r^d=n.

Podemos observar que la razón de homotecia de un segmento es 1, con n=r. La de un cuadrado es 2, con n=4 y r=2. La de un cubo es 3, con n=8 y r=2.

La dimensión de homotecia de la línea

es aproximadamente 1.26, con n=4 y r=3. Esta línea, dibujada tal cual está aquí, no es un fractal, tiene longitud finita y en todo punto, salvo una cantidad finita, tiene recta tangente. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como línea de Koch.

La dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico

es aproximadamente 1.58, con n=3 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como triángulo de Sierpinski.

La dimensión de homotecia de este otro ente geométrico

es aproximadamente 1.89, con n=8 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como alfombra de Sierpinski.

Y la dimensión de homotecia de este ente geométrico

es aproximadamente 2.32, con n=5 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como tetraedro de Sierpinski.

Y la dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico

es aproximadamente 2.72, con n=20 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como esponja de Menger.

Un edificio con la estructura de alguno de estos ejemplos, sería semejante a un fractal, pero no sería un fractal; la repetición de las sub-partes no se produciría de manera infinita en el edificio.

Todos los fractales aquí aludidos tienen dimensión topológica 1; mientras que los entes dibujados, no fractales, tienen dimensión topológica 1, 2 o 3 según el caso. Ninguno de los fractales aludidos tiene longitud finita, ni tiene recta tangente en ninguno de sus puntos.

Vemos que la dimensión de homotecia de los fractales mide su grado de escabrosidad y discontinuidad. Mide el grado de irregularidad del ente fractal, marcando cuál es su eficacia para ocupar espacio; y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, así la línea de Koch (1'26) es menos eficaz que el triángulo de Sierpinski (1.58). Este concepto puede ser utilizado, entre otras cosas, para estudios de urbanismo; una línea que dé la distribución de calles puede pensarse como aproximación de un fractal, igual que los dibujos anteriores eran aproximaciones de los fractales nombrados.

Pero, generalmente los fractales no tienen configuración homotética y por tanto no tienen dimensión de homotecia. Entonces ¿qué es un fractal y cómo medimos su grado de ocupación de espacio?

Será la dimensión de Hausdorff la que dará la respuesta.

Más proyectos: Superficies Nurbs.

Culmino la asignatura "Superficies geométricas arquitectónicas" con las llamadas: Superficies nurbs (non uniform rational B-splines).

¿Podemos encontrar alguna obra arquitectónica basada en superficies nurbs?


Sala de conciertos Walt Disney.

Infinidad.

Para que podáis ver una infinidad de posibilidades.

Mosaico p6m interactivo.

[...]
¡Ay, cómo lloran y lloran,

¡ay! ¡ay! cómo están llorando!

Más proyectos: curvatura media nula.

Superficies mínimas: superficies que tienen su curvatura media H constantemente nula (H = semisuma de las curvaturas principales). ¿Será que sirven en Arquitectura?

¿Será que si se desea levantar una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulen, permitiendo a la vez economía de material y forma atrevida, las superficies mínimas sirven para algo?

¿Será que el Estadio Olímpico de Múnich está techado con una superficie mínima?

Foco.

El foco de una parábola se trata de un concepto básico en Ingeniería y Arquitectura. Tiene que ver, entre otras cosas, de manera importantísima con la distribución de fuerzas sobre cables y la concentración de rayos en reflexión.

Línea de estrangulación: lugar geométrico de los puntos de las generatrices de las superficies regladas tal que en ellos se tiene la curvatura máxima en valor absoluto sobre cada generatriz.

[...] Era tan niño que creí que el cielo,
estaba de mis plantas al nivel.
Y alegre al ver sin puertas la morada
de que sabía maravillas tantas
quise moviendo mis sencillas plantas
al cielo entrar para quedarme en él. [...]

—¡Qué poco sabes, Sancho —respondió don Quijote—, de achaque de caballería! Calla y ten paciencia, que día vendrá donde veas por vista de ojos cuán honrosa cosa es andar en este ejercicio. Si no, dime: ¿qué mayor contento puede haber en el mundo o qué gusto puede igualarse al de vencer una batalla y al de triunfar de su enemigo? Ninguno, sin duda alguna.

Más proyectos: hiperboloides y estructuras.

¿Será que el parabolide hiperbólico ha sido usado alguna vez en algún proyecto arquitectónico? ¿Lo habrán usado autores como S. Calatrava, A. Gaudí y F. Candela?

Enlace 1 a documento.
Enlace 2 a documento.
Enlace 3 a documento.

¿Será que consumida por los años
sienta placer la vida fatigada,
en dejar de este mundo los engaños,
el término al tocar de su jornada?

Sol de la infancia.

Digo en clase decenas de veces que: la primera forma fundamental es la que permite el cálculo del producto escalar de vectores tangentes a una superficie expresados en la base dada por la carta de parametrización. Sin embargo, de nada sirve tanto esfuerzo.

Y si digo que el conocimiento de las cónicas es usado en medicina para la eliminación de cálculos renales tampoco les interesa.

Cuando les pido que me hagan un altar de volumen doble ni me escuchan. Si les doy la fórmula de Gauss de los polígonos regulares construibles con regla y compás miran con indiferencia y dejadez.

Tampoco, en 4 años, he visto proyecto alguno de mis alumnos de Arquitectura en el que usen las cónicas de forma estructural.

Curiosa época.

Estos días azules y este sol de la infancia.

Decíase él.

Tomemos una cónica no degenerada; consideramos las dos tangentes a la misma por un punto exterior P. Los puntos de contacto A y B de las tangentes a la cónica determinan una recta (llamada polar de P) tal que: cualquier recta por P corta a la polar en Q y a la cónica en X e Y de tal forma que el par XY separa al par PQ harmónicamente; o sea, la razón doble (P,Q,X,Y)=-1.

Las catedrales góticas tienen sus proporciones ligadas al número de oro y a la razón harmónica... Limpias, pues, sus armas, hecho del morrión celada, puesto nombre a su rocín y confirmándose a sí mismo, se dio a entender que no le faltaba otra cosa sino buscar una dama de quien enamorarse, porque el caballero andante sin amores era árbol sin hojas y sin fruto y cuerpo sin alma.

Además de otras muchas relaciones de cuaterna harmónica, las más clásicas son las siguientes:

- Las bisectrices de un ángulo forman, con los lados de éste, cuaterna harmónica.

- Sean A, B, C, D, cuatro puntos alineados, y sea O el punto medio de AB. Entonces A, B, C, D forman cuaterna harmónica si y sólo si OC·OD=OA² y O no está entre C y D.

- Dos circunferencias se cortan ortogonalmente si y sólo si toda secante que pasa por el centro de una de ellas es cortada harmónicamente por las dos circunferencias.

- Los diámetros alineados de dos circunferencias ortogonales si dividen harmónicamente.

- Para aquellos que entiendan qué es la polar: Sea Q una cónica no degenerada y P un punto que no pertenece a Q. La polar de P respecto Q es el lugar geométrico de los puntos harmónicamente separados de P por los puntos de intersección con Q de cualquier secante a ella por P.

- El centro F de la circunferencia de Feuerbach, el circuncentro O, el ortocentro H y el baricentro G de un triángulo forman cuaterna harmónica.

Decíase él:
—Si yo, por malos de mis pecados, o por mi buena suerte, me encuentro por ahí con algún gigante, como de ordinario les acontece a los caballeros andantes, y le derribo de un encuentro, o le parto por mitad del cuerpo, o, finalmente, le venzo y le rindo, ¿no será bien tener a quien enviarle presentado, y que entre y se hinque de rodillas ante mi dulce señora, y diga con voz humilde y rendida: «Yo, señora, soy el gigante Caraculiambro, señor de la ínsula Malindrania, a quien venció en singular batalla el jamás como se debe alabado caballero don Quijote de la Mancha, el cual me mandó que me presentase ante la vuestra merced, para que la vuestra grandeza disponga de mí a su talante»?

Proyectos.

A: Profe, ¡lo que explicas es basura y desde luego que no sirve para proyectos!

---

Yo: ¿¡En qué clase de locura hemos entrado!?

[...]
¿Dónde volaron, ¡ay!, aquellas horas
de juventud, de amor y de ventura,
regaladas de músicas sonoras,
adornadas de luz y de hermosura?
[...]

---

Maqueta funicular de la Sagrada Familia.

Parábola:

Catenária:

Espiral:

Esfera geodésica:

Toro:

Paraboloide reglado:

Hiperboloide reglado:

Bézier:

B-Spline:

Qué solos se quedan..., qué solo me quedaré.

Qué solos.

Red geodésica de primer orden.

[...]

¡Dios mío, qué solos

se quedan los muertos!

En las largas noches

del helado invierno,

cuando las maderas

crujir hace el viento

y azota los vidrios

el fuerte aguacero,

de la pobre niña

a veces me acuerdo.

Allí cae la lluvia

con un son eterno;

allí la combate

el soplo del cierzo.

Del húmedo muro

tendida en el hueco,

¡acaso de frío

se hielan sus huesos!...

¿Vuelve el polvo al polvo?

¿Vuela el alma al cielo?

¿Todo es sin espíritu

podredumbre y cieno?

No sé, pero hay algo

que explicar no puedo,

algo que repugna

aunque es fuerza hacerlo,

a dejar tan tristes,

tan solos los muertos!

Profe, ¿cuál es la geometría básica en Geodesia?

La latitud de un punto p del elipsoide de Hayford H es la amplitud del ángulo que forma su recta normal con el eje focal de la meridiana por p. Sea Op la recta que pasa por el centro O de H y por p, y sea θ la amplitud del ángulo que forma la recta Op con el eje focal de la meridiana por p; claramente tenemos que

es una parametrización de H, con b semieje menor de la meridiana. Las amplitudes de los ángulos siempre se entenderán en radianes, salvo que se diga expresamente que son en segundos de arco.

Las curvaturas principales en p en función de los tres parámetros a, ε, θ son:

en la dirección de meridiana: ,

en la dirección de paralelo: .

Se tiene también la relación

.

Con lo cual, las curvaturas principales en p en función de los tres parámetros a, ε, , son:

en la dirección de meridiana: ,

en la dirección de paralelo: ,

así, ρ será el radio de curvatura de la meridiana y n el radio de curvatura en la dirección del paralelo.

El arco s de meridiana en función de una diferencia de latitudes es

,

con la latitud media. Y recíprocamente la diferencia medida en segundos de arco es

.

Recordamos que uno de los teoremas de Gauss dice (ver entrada אמן):

Teorema de Gauss: El exceso de un triángulo geodésico es el área de su imagen esférica.

Tal teorema aplicado al caso de la esfera de radio R queda, siendo el triángulo geodésico, su exceso y su área

,

expresado en segundos de arco .

En la práctica podremos sustituir el cálculo sobre un triángulo geodésico esférico por el cálculo sobre un triángulo plano de lados con las mismas longitudes que el esférico y de ángulos los mismos del esférico pero disminuidos en una tercera parte de su exceso, a causa del siguiente teorema:

Teorema de Legendre: Sea un triángulo geodésico sobre una esfera. Sea otro triángulo plano tal que sus lados son de la misma longitud que los respectivos de . Entonces

,

donde el error es del orden .

Recordamos, así mismo, que el teorema Egregium de Gauss dice:

Teorema Egregium: La curvatura de Gauss es invariante por isometrías locales.

En consecuencia, cuando hagamos una aproximación local del elipsoide H entorno a un punto p por una esfera, esa esfera habrá de ser la de radio

para obtener la mejor aproximación.

Tomados los datos de campo de un triángulo geodésico sobre H, llamaremos error de cierre a

,

donde son las amplitudes de los ángulos obtenidos a través de esos datos.

Las fórmulas de trigonometría esférica serán de gran uso, destacamos de entre ellas el teorema de coseno: sobre un triángulo geodésico esférico tenemos, midiendo los arcos por los ángulos centrales, que

.