lunes, 27 de abril de 2009

Profe, ¿cuál es la geometría básica en Geodesia?

La latitud de un punto p del elipsoide de Hayford H es la amplitud del ángulo que forma su recta normal con el eje focal de la meridiana por p. Sea Op la recta que pasa por el centro O de H y por p, y sea θ la amplitud del ángulo que forma la recta Op con el eje focal de la meridiana por p; claramente tenemos que

es una parametrización de H, con b semieje menor de la meridiana. Las amplitudes de los ángulos siempre se entenderán en radianes, salvo que se diga expresamente que son en segundos de arco.

Las curvaturas principales en p en función de los tres parámetros a, ε, θ son:
en la dirección de meridiana: ,
en la dirección de paralelo: .

Se tiene también la relación
.
Con lo cual, las curvaturas principales en p en función de los tres parámetros a, ε, , son:
en la dirección de meridiana: ,
en la dirección de paralelo: ,
así, ρ será el radio de curvatura de la meridiana y n el radio de curvatura en la dirección del paralelo.

El arco s de meridiana en función de una diferencia de latitudes es
,
con la latitud media. Y recíprocamente la diferencia medida en segundos de arco es
.

Recordamos que uno de los teoremas de Gauss dice (ver entrada אמן):
Teorema de Gauss: El exceso de un triángulo geodésico es el área de su imagen esférica.

Tal teorema aplicado al caso de la esfera de radio R queda, siendo el triángulo geodésico, su exceso y su área
,
expresado en segundos de arco .

En la práctica podremos sustituir el cálculo sobre un triángulo geodésico esférico por el cálculo sobre un triángulo plano de lados con las mismas longitudes que el esférico y de ángulos los mismos del esférico pero disminuidos en una tercera parte de su exceso, a causa del siguiente teorema:
Teorema de Legendre: Sea un triángulo geodésico sobre una esfera. Sea otro triángulo plano tal que sus lados son de la misma longitud que los respectivos de . Entonces
,
donde el error es del orden .

Recordamos, así mismo, que el teorema Egregium de Gauss dice:
Teorema Egregium: La curvatura de Gauss es invariante por isometrías locales.

En consecuencia, cuando hagamos una aproximación local del elipsoide H entorno a un punto p por una esfera, esa esfera habrá de ser la de radio
para obtener la mejor aproximación.

Tomados los datos de campo de un triángulo geodésico sobre H, llamaremos error de cierre a
,
donde son las amplitudes de los ángulos obtenidos a través de esos datos.

Las fórmulas de trigonometría esférica serán de gran uso, destacamos de entre ellas el teorema de coseno: sobre un triángulo geodésico esférico tenemos, midiendo los arcos por los ángulos centrales, que
.

Profe, háblanos de Geodesia.

La Geodesia trata del estudio de la forma y de la superficie de la Tierra, global y parcial.

Entendemos por levantamiento el conjunto de procedimientos para determinar la posición de un punto sobre la superficie de la Tierra, tanto en planimetría como en altimetría.

El término Topografía suele aplicarse cuando las áreas tratadas son relativamente pequeñas, un área menor a 50 Km².

Se admite como forma de la Tierra la superficie de equilibrio materializada por el nivel medio de los mares en calma; esta superficie es llamada superficie geoide y se la considera prolongada en los continentes como aquella que tiene el mismo potencial gravitatorio que la formada por tal nivel medio.

La superficie geoide no es un elipsoide a pesar del principio que dice que: la forma de equilibrio de una masa fluida homogénea sometida a la ley de gravitación universal, girando alrededor de su eje, tiene por frontera un elipsoide de revolución aplastado por los polos. La Tierra no es homogénea.

Tal equilibrio mencionado se tiene entre la acción gravitatoria tanto de los astros como de las masas del planeta así como de la acción centrífuga ocasionada por la rotación y traslación; llamaremos vertical astronómica a la normal sobre la superficie geoide; es la que toma una plomada. Tal superficie tiene en cuenta las anomalías gravimétricas a causa de la distribución de las masas y densidad de las componentes de la Tierra. Se trata de una superficie con protuberancias y depresiones que alcanzan hasta los ±1000 metros respecto de la superficie regular media.

La Asociación Geodésica Internacional adoptó en 1924 un Elipsoide Internacional de Referencia. Tal elipsoide H, es el llamado elipsoide de Hayford, y aproxima a la superficie geoide. Se busca en H que su centro coincida con el centro gravitatorio de la Tierra, que coincida su ecuador con el de la Tierra y que la integral de los cuadrados de la altura geoidal sea mínima. Se entiende por altura geoidal u ondulación de la geoide la elevación de cualquier punto de la geoide respecto de H.

Las longitudes y latitudes geodésicas se refieren al elipsoide H y las astronómicas a la geoide.

Los parámetros que definen H desde 1967 son los siguientes datum:

Semieje mayor de elipse meridiana: a=6378.142 ±6 m.
Excentricidad de elipse meridiana: ɛ=0.081819 ±0.000023.
Punto de tangencia entre H y la geoide o punto astronómico fundamental: Postdam, Torre de Helmert, ED-50.

Llamaremos desviación de la vertical en un punto p de la Tierra al ángulo que existe entre la vertical astronómica y la vertical de H. A la vertical de H se le suele llamar vertical geodésica.

Un punto p sobre la superficie terrestre tendrá coordenadas geodésicas las del punto q de H tal que su normal por q pasa por el punto p.

Para situar p, necesitaremos la altura de dicho punto sobre H que llamaremos altura elipsoidal. Tal altura no es muy usada, normalmente se usa la altura respecto el nivel medio del mar, que en España se toma el nivel medido en Alicante, se trata de la altura respecto a la geoide y es llamada altura ortométrica. La altura elipsoidal menos la ortométrica es la llamada altura geoidal u ondulación de la geoide, representa las ondulaciones de la geoide respecto H. Un punto p de la Tierra vendrá determinado por el trío longitud geodésica, latitud geodésica y altura elipsoidal.

Entendemos por red geodésica una serie de puntos, llamados vértices geodésicos, distribuidos por toda la superficie, formando una malla de triángulos geodésicos (sus lados son líneas geodésicas), y de los cuales se conocen todos sus elementos (distancias, ángulos, coordenadas). Para determinar las coordenadas de tales vértices se parte de las del punto astronómico fundamental, las cuales se determinan por métodos astronómicos. Seguidamente, se irá determinando el resto de puntos mediante visuales que formen una malla de triángulos. Se han de determinar con la máxima precisión los tres ángulos de cada triángulo y además la medida de una línea determinada por dos de los vértices. Esta línea es la llamada línea base. A partir de la línea base, que es el lado de uno de los triángulos geodésicos, y de la medición de los ángulos, se van determinando el resto de coordenadas de los demás vértices, teniendo en cuenta que se trata de una malla de triángulos geodésicos sobre H. En cuanto a la altimetría, se procederá inicialmente a tomar mediante un mareómetro la altura de un punto, procediendo luego a partir de este primero a tomar la altura de los demás.

Llamaremos azimut al ángulo que forma una curva en un punto cualquiera con su meridiana en sentido sur.

Normalmente se dispone de tres redes geodésicas: de primer, segundo y tercer orden. La de primer orden está formada por triángulos de 30 a 80 Km de lado. La de segundo orden, que se basa en la anterior, está formada por triángulos con lados de 10 a 30 Km. La de tercer orden, que se basa en la de segundo orden, está formada por triángulos de lados de 5 a 10 Km. Siendo esta última la que entra en los dominios de la Topografía.

Se hacen las siguientes consideraciones sobre la red geodésica de primer orden:

1.- Además del punto fundamental, se toman otros puntos de la red sobre los cuáles mediante métodos astronómicos se buscarán sus coordenadas. Son los llamados puntos Laplace. Servirán para hacer la llamada compensación geodésica-astronómica de la red.
2.- Los triángulos de las visuales de los vértices han de ser lo más equiláteros posible.
3.- El número de triángulos de la red ha de ser el menor posible, o sea que los lados han de ser lo mayor posible, si es necesario elevando el vértice en alguna torre. Pero de tal forma que la dimensión de los lados se aleje del valor de 90 Km a causa de la llamada refracción lateral. O sea, se intentará que los lados sea cortos, de alrededor de 40 Km o sean largos de alrededor de 150 Km o más.

sábado, 25 de abril de 2009

Ingenuo de mí.

Dado que el producto vectorial de dos vectores linealmente independientes del espacio determina la dirección ortogonal a ambos vectores; y dado que determina el momento de una fuerza respecto de un punto; y dado que determina el momento angular de una masa respecto de un eje; y dado que tiene además otras aplicaciones geométricas y físicas, pensaba yo que era uno de los conceptos básicos en Arquitectura.

Pero, ¿tanto ha cambiado el mundo?

No sirvió.

Una simetría no tiene porqué ser un desplazamiento; en consecuencia, es falso que en general las simetrías sean ortogonales y que (o sea: es falso que la diferencial de una simetría cualquiera compuesta con su dual sea la identidad).

Cada una de las dos generatrices de un paraboloide hiperbólico, en cualquiera sus puntos, son paralelas, respectivamente, a cada uno de los dos planos directores del paraboloide. Además, estos planos cortan al paraboloide en dos rectas (generatrices) que son perpendiculares a su eje y pasan por el vértice.

Esto lo expliqué en clase con profundidad, ¿sirvió de algo tanto esfuerzo?
No, no sirvió.

domingo, 19 de abril de 2009

Curiosa clase.

Agujeros negros, métrica de Minkowski, efecto de una pelota con giro, vuelo de aviones, burbujas, mi flequillo en época hippie, ... curiosa clase.

El principio de Bernoulli afirma que un fluido, no viscoso de densidad y caudal constante en un tubo de corriente, mantiene la suma de las presiones estática y dinámica invariable; o sea: p + ρ g h + ρv²1/2 = cte, donde p es la presión a lo largo de una línea de corriente, ρ es la densidad del fluido, g la aceleración gravitatoria, h la altura y v la velocidad. La consecuencia más importante es que a mayor velocidad menor presión. Esto tiene implicaciones en muchas cuestiones de ingeniería (chimeneas, cometas, carburadores, tuberías, etc.). En especial, éste es el motivo fundamental de la sustentación de los aviones con alas y la negación a vela contra el viento.

El principio de Poisson-Laplace afirma que la diferencia de presión ejercida por fluidos en equilibrio sobre las dos caras de una superficie que los separa es el producto de la tensión superficial λ por la curvatura media H de la superficie; o sea: p1-p2=λH. Esto tiene implicaciones en ingeniería. Si además consideramos el teorema de la Geometría que afirma que la única superficie diferenciable compacta de curvatura media constante no nula sumergida en el espacio es la esfera, se tiene que las burbujas simples cerradas sin frontera son esferas.

Is God a geometer?

sábado, 11 de abril de 2009

Espacio-Tiempo

Un proceso de cambio, y por tanto el tiempo, no existe por sí sólo. El tiempo sólo existe ligado al espacio, y depende la velocidad y de la gravedad.

¿Por qué digo esto?

Extática le adora.



Arquímedes - Newton - Gauss.

El plano de planta de una techumbre, como una cúpula, es carta de una superficie de la forma x(u,v)=(ku,kv,f(ku,kv)) donde k es la escala y f es la altura.

Cifró en don Félix la infeliz doncella
toda su dicha, de su amor perdida;
fueron sus ojos a los ojos de ella
astros de gloria, manantial de vida.
Cuando sus labios con sus labios sella
cuando su voz escucha embebida,
embriagada del dios que la enamora,
dulce le mira, extática le adora.

Suelo hacer estas preguntas a mis alumnos. Para mi tristeza, constato que no saben las respuestas; las pondré aquí.
¿Qué es, sintéticamente, la recta tangente?
Es el límite de las rectas secantes.
¿Qué es, sintéticamente, el plano osculador?
Es el límite de los planos secantes; contiene la circunferencia osculatriz.
¿Qué es la fuerza centrífuga de un móvil en un punto de su trayectoria?
Es k·m·v² con: k curvatura de la trayectoria, m masa, v módulo de la velocidad. De ahí la importancia de la clotoide.
¿Qué es, sintéticamente, la longitud de una línea?
Es el límite de las sumas de las longitudes de las poligonales inscritas en la línea, tales que sus segmentos tienden a ser de longitud nula.
¿Qué es, sintéticamente, el área de una superficie?
...

—Mire vuestra merced —respondió Sancho— que aquellos que allí se parecen no son gigantes, sino molinos de viento, y lo que en ellos parecen brazos son las aspas, que, volteadas del viento, hacen andar la piedra del molino.
—Bien parece —respondió don Quijote— que no estás cursado en esto de las aventuras: ellos son gigantes; y si tienes miedo quítate de ahí, y ponte en oración en el espacio que yo voy a entrar con ellos en fiera y desigual batalla.

sábado, 4 de abril de 2009

Mano piadosa.

Uno de los más preciosos teoremas de la Geometría.

Euler: Las direcciones principales de una superficie son ortogonales en todo punto.

Y de 100 matriculados... no hay ni 10 en clase.

[...]
Cierre mi mano piadosa
tus ojos al blando sueño,
y empape suave beleño
tus lágrimas de dolor.
Yo calmaré tu quebranto
y tus dolientes gemidos,
apagando los latidos
de tu herido corazón.

Clotoide.



ro - radio de curvatura.
s - parámetro arco.
A² - constante.
Con los desarollos en serie de C(x) y S(x) puede hacerse el cálculo tan aproximado como se necesite.