La dimensión de Hausdorff es una generalización del concepto de dimensión. Consideremos un ente geométrico E (variedad topológica inmersa en el 3-espacio afín euclídeo). Tomemos una unión de bolas, de diámetro menor que un número fidado d>0, tal que E esté incluido en esa unión. Esa unión es conocida como d-recubrimiento de E, y el número de bolas del d-recubrimiento puede ser infinito numerable. Fijemos ahora otro número s>0. Sea ahora la serie numérica consistente en la suma de los diámetros, elevados a s, de la bolas del d-recubrimento. Tenemos entonces, si la suma de esta serie numérica es convergente, un número dado por d, s y el d-recubrimiento, o el infinito en caso contrario; llamaremos a esta suma S(d,s,d-recubrimiento). Consideremos, seguidamente, el conjunto B, de los infinitos números S(d,s,d-recubrimiento), fijando d y s, pero variando los posibles d-recubrimientos. Sea entonces el ínfimo del conjunto B; y llamamos a este ínfimo: H_d^s. Pasemos entonces al límite de H_d^s cuando d tiende a cero. Tal límite, que puede ser ininito, es la llamada s-medida de Hausdorff de E y la notamos como H^s(E).
La medida de Hausdorff, que está siempre definida y se encuentra entre o e infinito, consiste en la longitud de E cuando s es 1, en el área de E si s es 2, en el volumen de E si es 3, etc; ahora bien, está definida para todos los valores de s>0. Así, podemos ver qué ocurre con la s-medida de Hausdorff de E según va variando el parámetro s; y obtenemos que: existe un valor D tal que H^s(E) es infinita si D>s, y H^s(E) es 0 si s>D . A este número D se le conoce como dimensión de Hausdorff de E, D_H(E).
Cuando D_H(E) es un número no entero decimos que E es un fractal.
En la práctica la dimensión de Hausdorff no es fácil de calcular y por ello se suele substituir su cálculo por otro que se le aproxima. Tal aproximación es la llamada dimensión fractal.
Consideremos de nuevo el ente geométrico E. Fijado un número d>0 consideremos el número menor de bolas de radio d, tal que E esté incluido en la unión de esas bolas; llamemos N(E,d) a tal número. Sea D_d(E) el cociente de logaritmos log(N(E,d))/log(1/d). Y pasemos al límite D_d(E) cuando d tiende a cero. Llamamos D(E) tal límite, y es conocido como dimensión fractal. Se tiene que D(E) es una aproximación de D_H(E) y que D(E) es mayor o igual que D_H(E).
En la práctica realmente se calcula la dimensión fractal por un método equivalente de cálculo. Se toma N_n el número de cajas que intersecan al conjunto E de un mallado cuadricular de anchura 1/2ⁿ y se pasa al límite cuando n tiende a infinito el cociente de logaritmos log(N_n)/log(2ⁿ).
Así por ejemplo, si E es la línea de Koch, se tiene que D(E)=1.26>D_H(E)=1.18.
Esta dimensión fractal, es aplicable a entes geométricos no necesariamente fractales; es una medida de la eficacia de ocupar espacio. Así, tiene utilidad práctica, entre otras muchas cosas, en cuestiones de urbanismo. O por ejemplo, si calculamos la dimensión fractal de líneas que marcan la frontera entre países, o líneas que marcan una costa marítima, nos da una medida de la escabrosidad de las mismas.
