Llamaremos entonces dimensión de homotecia de T a la cantidad: log_r(n) (donde log_r(n) es el logaritmo en base r de n). O dicho al revés: la dimensión de homotecia de T es el número d tal que r^d=n.
Podemos observar que la razón de homotecia de un segmento es 1, con n=r. La de un cuadrado es 2, con n=4 y r=2. La de un cubo es 3, con n=8 y r=2.
La dimensión de homotecia de la línea
es aproximadamente 1.26, con n=4 y r=3. Esta línea, dibujada tal cual está aquí, no es un fractal, tiene longitud finita y en todo punto, salvo una cantidad finita, tiene recta tangente. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como línea de Koch.
La dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico
es aproximadamente 1.58, con n=3 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como triángulo de Sierpinski.
La dimensión de homotecia de este otro ente geométrico
es aproximadamente 1.89, con n=8 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como alfombra de Sierpinski.
Y la dimensión de homotecia de este ente geométrico
es aproximadamente 2.32, con n=5 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como tetraedro de Sierpinski.
Y la dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico
es aproximadamente 2.72, con n=20 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como esponja de Menger.
Un edificio con la estructura de alguno de estos ejemplos, sería semejante a un fractal, pero no sería un fractal; la repetición de las sub-partes no se produciría de manera infinita en el edificio.
Un edificio con la estructura de alguno de estos ejemplos, sería semejante a un fractal, pero no sería un fractal; la repetición de las sub-partes no se produciría de manera infinita en el edificio.
Todos los fractales aquí aludidos tienen dimensión topológica 1; mientras que los entes dibujados, no fractales, tienen dimensión topológica 1, 2 o 3 según el caso. Ninguno de los fractales aludidos tiene longitud finita, ni tiene recta tangente en ninguno de sus puntos.
Vemos que la dimensión de homotecia de los fractales mide su grado de escabrosidad y discontinuidad. Mide el grado de irregularidad del ente fractal, marcando cuál es su eficacia para ocupar espacio; y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, así la línea de Koch (1'26) es menos eficaz que el triángulo de Sierpinski (1.58). Este concepto puede ser utilizado, entre otras cosas, para estudios de urbanismo; una línea que dé la distribución de calles puede pensarse como aproximación de un fractal, igual que los dibujos anteriores eran aproximaciones de los fractales nombrados.
Pero, generalmente los fractales no tienen configuración homotética y por tanto no tienen dimensión de homotecia. Entonces ¿qué es un fractal y cómo medimos su grado de ocupación de espacio?
Será la dimensión de Hausdorff la que dará la respuesta.