.VALE.

—Señores —dijo don Quijote—, vámonos poco a poco, pues ya en los nidos de antaño no hay pájaros hogaño. Yo fui loco y ya soy cuerdo; fui don Quijote de la Mancha y soy agora, como he dicho, Alonso Quijano el Bueno.


Cual suele la luna tras lóbrega nube
con franjas de plata bordarla en redor,
y luego si el viento la agita, la sube
disuelta a los aires en blanco vapor:

Así vaga sombra de luz y de nieblas,
mística y aérea dudosa visión,
ya brilla, o la esconden las densas tinieblas
cual dulce esperanza, cual vana ilusión.

.VALE.

Fractal 2. Dimensión de Hausdorff.

En general, un fractal no tiene por qué tener estructura homotética, y así, no posee dimensión de homotecia; además ni siquiera tiene porqué ser algo con autosemenjanza. Se tiene entonces el problema de dar una definición matemática formal de fractal que además recoja su nivel de escabrosidad y eficacia de ocupar espacio. El mejor intento de resolución de este problema consiste en la llamada: dimensión de Hausdorff.

La dimensión de Hausdorff es una generalización del concepto de dimensión. Consideremos un ente geométrico E (variedad topológica inmersa en el 3-espacio afín euclídeo). Tomemos una unión de bolas, de diámetro menor que un número fidado d>0, tal que E esté incluido en esa unión. Esa unión es conocida como d-recubrimiento de E, y el número de bolas del d-recubrimiento puede ser infinito numerable. Fijemos ahora otro número s>0. Sea ahora la serie numérica consistente en la suma de los diámetros, elevados a s, de la bolas del d-recubrimento. Tenemos entonces, si la suma de esta serie numérica es convergente, un número dado por d, s y el d-recubrimiento, o el infinito en caso contrario; llamaremos a esta suma S(d,s,d-recubrimiento). Consideremos, seguidamente, el conjunto B, de los infinitos números S(d,s,d-recubrimiento), fijando d y s, pero variando los posibles d-recubrimientos. Sea entonces el ínfimo del conjunto B; y llamamos a este ínfimo: H_d^s. Pasemos entonces al límite de H_d^s cuando d tiende a cero. Tal límite, que puede ser ininito, es la llamada s-medida de Hausdorff de E y la notamos como H^s(E).

La medida de Hausdorff, que está siempre definida y se encuentra entre o e infinito, consiste en la longitud de E cuando s es 1, en el área de E si s es 2, en el volumen de E si es 3, etc; ahora bien, está definida para todos los valores de s>0. Así, podemos ver qué ocurre con la s-medida de Hausdorff de E según va variando el parámetro s; y obtenemos que: existe un valor D tal que H^s(E) es infinita si D>s, y H^s(E) es 0 si s>D . A este número D se le conoce como dimensión de Hausdorff de E, D_H(E).

Cuando D_H(E) es un número no entero decimos que E es un fractal.

En la práctica la dimensión de Hausdorff no es fácil de calcular y por ello se suele substituir su cálculo por otro que se le aproxima. Tal aproximación es la llamada dimensión fractal.

Consideremos de nuevo el ente geométrico E. Fijado un número d>0 consideremos el número menor de bolas de radio d, tal que E esté incluido en la unión de esas bolas; llamemos N(E,d) a tal número. Sea D_d(E) el cociente de logaritmos log(N(E,d))/log(1/d). Y pasemos al límite D_d(E) cuando d tiende a cero. Llamamos D(E) tal límite, y es conocido como dimensión fractal. Se tiene que D(E) es una aproximación de D_H(E) y que D(E) es mayor o igual que D_H(E).

En la práctica realmente se calcula la dimensión fractal por un método equivalente de cálculo. Se toma N_n el número de cajas que intersecan al conjunto E de un mallado cuadricular de anchura 1/2ⁿ y se pasa al límite cuando n tiende a infinito el cociente de logaritmos log(N_n)/log(2ⁿ).

Así por ejemplo, si E es la línea de Koch, se tiene que D(E)=1.26>D_H(E)=1.18.

Esta dimensión fractal, es aplicable a entes geométricos no necesariamente fractales; es una medida de la eficacia de ocupar espacio. Así, tiene utilidad práctica, entre otras muchas cosas, en cuestiones de urbanismo. O por ejemplo, si calculamos la dimensión fractal de líneas que marcan la frontera entre países, o líneas que marcan una costa marítima, nos da una medida de la escabrosidad de las mismas.

Fractal 1. Dimensión de homotecia.

Consideremos una entidad geométrica T (variedad topológica inmersa en el 3-espacio afín euclídeo) constituida de la siguiente forma: T está compuesta por la unión de n partes; esas n partes son la imagen por un desplazamiento de una sub-entidad geométrica S; T es homotética a S (T=h_r(S), con h_r homotecia de razón de r).

Llamaremos entonces dimensión de homotecia de T a la cantidad: log_r(n) (donde log_r(n) es el logaritmo en base r de n). O dicho al revés: la dimensión de homotecia de T es el número d tal que r^d=n.

Podemos observar que la razón de homotecia de un segmento es 1, con n=r. La de un cuadrado es 2, con n=4 y r=2. La de un cubo es 3, con n=8 y r=2.

La dimensión de homotecia de la línea

es aproximadamente 1.26, con n=4 y r=3. Esta línea, dibujada tal cual está aquí, no es un fractal, tiene longitud finita y en todo punto, salvo una cantidad finita, tiene recta tangente. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como línea de Koch.

La dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico

es aproximadamente 1.58, con n=3 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como triángulo de Sierpinski.

La dimensión de homotecia de este otro ente geométrico

es aproximadamente 1.89, con n=8 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como alfombra de Sierpinski.

Y la dimensión de homotecia de este ente geométrico

es aproximadamente 2.32, con n=5 y r=2. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como tetraedro de Sierpinski.

Y la dimensión de homotecia del siguiente ente geométrico

es aproximadamente 2.72, con n=20 y r=3. Este ente, dibujado tal cual está aquí, no es un fractal. Ahora bien, si la repetición de las sub-entidades fuese infinita, en tal caso, sí sería un fractal y el fractal sería el conocido como esponja de Menger.

Un edificio con la estructura de alguno de estos ejemplos, sería semejante a un fractal, pero no sería un fractal; la repetición de las sub-partes no se produciría de manera infinita en el edificio.

Todos los fractales aquí aludidos tienen dimensión topológica 1; mientras que los entes dibujados, no fractales, tienen dimensión topológica 1, 2 o 3 según el caso. Ninguno de los fractales aludidos tiene longitud finita, ni tiene recta tangente en ninguno de sus puntos.

Vemos que la dimensión de homotecia de los fractales mide su grado de escabrosidad y discontinuidad. Mide el grado de irregularidad del ente fractal, marcando cuál es su eficacia para ocupar espacio; y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, así la línea de Koch (1'26) es menos eficaz que el triángulo de Sierpinski (1.58). Este concepto puede ser utilizado, entre otras cosas, para estudios de urbanismo; una línea que dé la distribución de calles puede pensarse como aproximación de un fractal, igual que los dibujos anteriores eran aproximaciones de los fractales nombrados.

Pero, generalmente los fractales no tienen configuración homotética y por tanto no tienen dimensión de homotecia. Entonces ¿qué es un fractal y cómo medimos su grado de ocupación de espacio?

Será la dimensión de Hausdorff la que dará la respuesta.

Más proyectos: Superficies Nurbs.

Culmino la asignatura "Superficies geométricas arquitectónicas" con las llamadas: Superficies nurbs (non uniform rational B-splines).

¿Podemos encontrar alguna obra arquitectónica basada en superficies nurbs?


Sala de conciertos Walt Disney.

Infinidad.

Para que podáis ver una infinidad de posibilidades.

Mosaico p6m interactivo.

[...]
¡Ay, cómo lloran y lloran,

¡ay! ¡ay! cómo están llorando!

Más proyectos: curvatura media nula.

Superficies mínimas: superficies que tienen su curvatura media H constantemente nula (H = semisuma de las curvaturas principales). ¿Será que sirven en Arquitectura?

¿Será que si se desea levantar una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulen, permitiendo a la vez economía de material y forma atrevida, las superficies mínimas sirven para algo?

¿Será que el Estadio Olímpico de Múnich está techado con una superficie mínima?